Sistemas de Numeração
Rodolfo Azevedo
MC404 - Organização Básica de Computadores e Linguagem de Montagem
http://www.ic.unicamp.br/~rodolfo/mc404
Como você contaria R$132,00?
Resposta, R$132,00 =
Resumidamente, R$132,00 =
1 x 
3 x 
2 x 
Escolha um dos números abaixo
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 9 | 10 | 11 |
| 12 | 13 | 14 | 15 |
Anote sua resposta para as próximas 4 perguntas
Seu número está aqui?
| 8 | 9 | 10 | 11 |
| 12 | 13 | 14 | 15 |
Seu número está aqui?
| 4 | 5 | 6 | 7 |
| 12 | 13 | 14 | 15 |
Seu número está aqui?
| 2 | 3 | 6 | 7 |
| 10 | 11 | 14 | 15 |
Seu número está aqui?
| 1 | 3 | 5 | 7 |
| 9 | 11 | 13 | 15 |
Vamos advinhar seu número?
Confira sua resposta
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| Não Não Não Não | Não Não Não Sim | Não Não Sim Não | Não Não Sim Sim |
| 4 | 5 | 6 | 7 |
| Não Sim Não Não | Não Sim Não Sim | Não Sim Sim Não | Não Sim Sim Sim |
| 8 | 9 | 10 | 11 |
| Sim Não Não Não | Sim Não Não Sim | Sim Não Sim Não | Sim Não Sim Sim |
| 12 | 13 | 14 | 15 |
| Sim Sim Não Não | Sim Sim Não Sim | Sim Sim Sim Não | Sim Sim Sim Sim |
Em binário
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 |
| 4 | 5 | 6 | 7 |
| 0100 | 0101 | 0110 | 0111 |
| 8 | 9 | 10 | 11 |
| 1000 | 1001 | 1010 | 1011 |
| 12 | 13 | 14 | 15 |
| 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Representação digital em binário (base 2)
- Por que binário?
- 0V --> valor 0
-
Tensão do circuito (tipicamente entre 1V e 5V) --> valor 1
-
Como compor números maiores?
-
Mesmo sistema posicional dos números decimais (base 10)
-
Em decimal
- 8547 = 8 x $10^3$ + 5 x $10^2$ + 4 x $10^1$ + 7 x $10^0$
- Em binário
- 1001 = 1 x $2^3$ + 0 x $2^2$ + 0 x $2^1$ + 1 x $2^0$
## Números em Decimal e Binário
| Dec. | Binário | Dec. | Binário | Dec. | Binário | Dec. | Binário | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 4 | 0100 | 8 | 1000 | 12 | 1100 | |||
| 1 | 0001 | 5 | 0101 | 9 | 1001 | 13 | 1101 | |||
| 2 | 0010 | 6 | 0110 | 10 | 1010 | 14 | 1110 | |||
| 3 | 0011 | 7 | 0111 | 11 | 1011 | 15 | 1111 |
E a volta?
- Técnica de divisões sucessivas
- 57 / 2 = 28 resto 1
- 28 / 2 = 14 resto 0
- 14 / 2 = 7 resto 0
- 7 / 2 = 3 resto 1
- 3 / 2 = 1 resto 1
- 1 / 2 = 0 resto 1
- 57 = 111001
- Ou soma/subtração das potências de 2
- 57 = 32 + 16 + 8 + 1
- $57 = 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^0$
Potências de 2
| Potência | Valor | Potência | Valor | |
|---|---|---|---|---|
| $2^0$ | 1 | $2^5$ | 32 | |
| $2^1$ | 2 | $2^6$ | 64 | |
| $2^2$ | 4 | $2^7$ | 128 | |
| $2^3$ | 8 | $2^8$ | 256 | |
| $2^4$ | 16 | $2^9$ | 512 |
- $2^{10}$ = 1024
Sua vez
- Converta $45_d$ para binário
- Converta $102_d$ para binário
- Converta $100101_b$ para decimal
- Converta $110000111_b$ para decimal
Potências de 2
| Valor | Sufixo | Sigla | Valor | Sufixo | Sigla | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1000 | K | Kilo | 1024 | Ki | Kibi | |
| $1000^2$ | M | Mega | $1024^2$ | Mi | Mebi | |
| $1000^3$ | G | Giga | $1024^3$ | Gi | Gibi | |
| $1000^4$ | T | Tera | $1024^4$ | Ti | Tebi | |
| $1000^5$ | P | Peta | $1024^5$ | Pi | Pebi | |
| $1000^6$ | E | Exa | $1024^6$ | Ei | Exbi | |
| $1000^7$ | Z | Zetta | $1024^7$ | Zi | Zebi |
Operações Lógicas - Porta E / AND
Operações Lógicas - Porta OU / OR
Operações Lógicas - Porta NÃO / NOT
Tabela Verdade
| A | B | A AND B | A OR B | A XOR B | NOT A |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Portas Lógicas
Instruções Lógicas
| Instrução | Formato | Uso |
|---|---|---|
| XOR | R | XOR rd, rs1, rs2 |
| XOR immediato | I | XORI rd, rs1, imm |
| OR | R | OR rd, rs1, rs2 |
| OR immediato | I | ORI rd, rs1, imm |
| AND | R | AND rd, rs1, rs2 |
| AND immediato | I | ANDI rd, rs1, imm |
NOT é uma pseudo-instrução que pode ser implementada com XORI.
Números negativos
- Números negativos podem ser representados em múltiplas formas
- Complemento de 1
- Sinal e Magnitude
-
Complemento de 2
-
É importante notar que trata-se apenas de uma forma de interpretar os dados
- O computador não sabe se o número é positivo ou negativo
- O computador apenas sabe que o número é um número binário
Complemento de 1 (não pretendemos utilizar)
- Regra de conversão: inverte todos os bits
- Dado um número binário, inverte-se todos os seus bits
- 0110 → 1001
-
1001 → 0110
-
Cabe a você, programador, fazer essa interpretação de números negativos ou positivos
- Continuando com os exemplos:
- 0110 → 6
- 1001 → -6
Sinal e Magnitude (não pretendemos utilizar)
- O primeiro bit do número é o sinal
- 0 → positivo
- 1 → negativo
- Os outros bits representam o valor absoluto do número
- 0110 → 6
- 1001 → -1
Complemento de 2 (vamos utilizar essa representação)
- Definição: É a representação binária que permite que a expressão $x + (-x)$ seja igual a zero.
0110 + 1010 = 0000 → (6 + -6 = 0)
-
Regra de conversão 1: Inverte todos os bits (complemento de 1) e soma 1
-
Regra de conversão 2: Repete os bits da direita para a esquerda até encontrar o primeiro 1 (repete esse um) e inverte todos os bits a partir dele.
Se o número tiver o bit mais significativo igual a 1, então ele é negativo. Caso contrário, ele é positivo.
Representações de números negativos
- Cada representação tem sua vantagem e desvantagem, em especial
- Complemento de 1
- Possui duas representações para o número 0
- Sinal e Magnitude
- Possui duas representações para o número 0
- Complemento de 2
- Uma representação para o número 0
Você sabe o significado das palavras abaixo?
| Palavra | O que significa? |
|---|---|
| Borracha | |
| Brinco | |
| Chulo | |
| Enojado | |
| Frente | |
| Largo | |
| Pastel |
Falso Cognatos em Espanhol
| Palavra em espanhol | O que de fato significa |
|---|---|
| Borracha | Bêbada |
| Brinco | Pulo |
| Chulo | Legal |
| Enojado | Zangado |
| Frente | Testa |
| Largo | Longo |
| Pastel | Bolo |
O significado dos bits está na interpretação que o código ou usuário faz deles
- O computador não sabe se o número é positivo ou negativo
- O número não está em complemento de 2, ele é apenas um número binário
- Se você interpretar como complemento de 2, você pode ter um resultado diferente
Sua vez
- Converta os números abaixo para binário em representação de complemento de 2 utilizando 6 bits
| Decimal | Binário em complemento de 2 utilizando 6 bits |
|---|---|
| -1 | |
| -6 | |
| -9 | |
| 8 | |
| -15 |
Sua vez
- Converta os números abaixo para binário em representação de complemento de 2 utilizando 6 bits
| Decimal | Binário em complemento de 2 utilizando 6 bits |
|---|---|
| -1 | 111111 |
| -6 | 111110 |
| -9 | 110111 |
| 8 | 001000 |
| -15 | 100001 |
Representação Hexadecimal (base 16)
- É uma representação compacta para números pois consegue agrupar 4 bits em um único dígito, sendo mais compacta que binário e decimal
- Cada dígito pode ser representado por um número de 0 a 9 ou uma letra de A a F
- A letra A representa o número 10, B representa 11, C representa 12, D representa 13, E representa 14 e F representa 15
- Exemplo:
- 0110 1001 → 69h → 6 × 16 + 9 = 105
- 1000 0111 → 87h → 8 × 16 + 7 = 135
- 0111 1001 → 79h → 7 × 16 + 9 = 121
Note que 1000 0111 também pode ser -121
Sua vez
- Converta os números abaixo para hexadecimal
| Binário | Hexadecimal |
|---|---|
| 0100 1101 | |
| 1010 0101 | |
| 0110 1000 |
- Você pode representar um número em hexadecimal utilizando letras maiúsculas ou minúsculas
- Você também pode utilizar o prefixo 0x para indicar que o número é hexadecimal no lugar da letra h como sufixo
Representação de caracteres
Códigos ASCII são apenas números!
- O caracter 0 tem código 30h (48d) e o caracter 9 tem código 39h (57d)
- Se você somar o número 9 ao código 48d, você terá o código 57d, que é o código do caracter 9
- O mesmo vale para letras, a letra A tem código 41h (65d) e a letra E tem código 45h (69d)
- Se você somar o número 4 (E é a quarta letra do alfabeto) ao código 65d, você terá o código 69d, que é o código da letra E.
- A letra A tem código 41h (65d) e a letra a (minúscula) tem código 61h (97d)
- Se você somar o número 32 a qualquer letra maiúscula, você terá a letra minúscula correspondente
- Se você subtrair o número 32 a qualquer letra minúscula, você terá a letra maiúscula correspondente
Representação de caracteres
- A tabela ASCII não é suficiente para representar todos os caracteres de uma língua
- O que fazer quando precisamos representar caracteres que não estão na tabela ASCII?
- Por um bom tempo, a tabela foi dividida em duas partes
- Primeiros 128 caracteres → Sempre os mesmos para todos os sistemas
- Demais caracteres → Dependem da localização do sistema
- Exemplo: ISO-8859-1, Windows-1252, etc.
Unicode
- Unicode é um padrão que define um único conjunto de caracteres para todos os sistemas
- Cada caractere é representado por um número (code point)
- Existem múltiplas codificações para esse número
- UTF-8
- UTF-16
- UTF-32
- Para codificar um conjunto grande de caracteres, são necessários mais bytes
- Caracteres são definidos como U+XXXX, onde XXXX é o número hexadecimal do caractere
- Existem símbolos Unicode que parecem com outros e foram utilizados, recentemente, como forma de burlar sistemas de segurança
Representação de strings
- Strings são sequências de caracteres armazenadas em memória
- Cada caracter está numa posição de memória consecutiva
- Existem duas formas típicas de armazenar strings
- String terminada em zero (\0) → Formato utilizado em C
- String cujo primeiro byte indica a quantidade de caracteres à frente
Endianess (Ordem dos bytes na memória)
- Cada posição de memória tem um endereço individual
- Os registradores do RISC-V são de 32 bits (4 bytes)
-
O que acontece se eu armazenar o número 0x12345678 na posição 1000 de memória?
-
Como você começa a ler o texto a seguir?
Endianess (Ordem dos bytes na memória)
- Cada posição de memória tem um endereço individual
- Os registradores do RISC-V são de 32 bits (4 bytes)
- O que acontece se eu armazenar o número 0x12345678 na posição 1000 de memória?
| Posição de Memória | 1000 | 1001 | 1002 | 1003 |
|---|---|---|---|---|
| Opção 1 | 0x12 | 0x34 | 0x56 | 0x78 |
| Opção 2 | 0x78 | 0x56 | 0x34 | 0x12 |
Endianess (Ordem dos bytes na memória)
- Cada posição de memória tem um endereço individual
- Os registradores do RISC-V são de 32 bits (4 bytes)
- O que acontece se eu armazenar o número 0x12345678 na posição 1000 de memória?
| Posição de Memória | 1000 | 1001 | 1002 | 1003 |
|---|---|---|---|---|
| Big Endian | 0x12 | 0x34 | 0x56 | 0x78 |
| Litle Endian | 0x78 | 0x56 | 0x34 | 0x12 |
RISC-V, x86, ARM, NVidia são little endian
Qual o impacto do Endianess?
- Você não precisa se preocupar com endian se:
- Seu programa escreve um inteiro na memória e lê um inteiro novamente
- Você não compartilha dados com nenhum outro computador
- Você precisa se preocupar com endian se:
- Você está lendo um arquivo binário
- Você envia/recebe dados de outro computador que não sabe o formato destino
- Você está manipulando dados de tamanho diferente da palavra (4 bytes). Ex.: strings, char, short, etc.
- Você está interagindo com um periférico e não sabe o formato de dados dele