Soluções — Aula 10: Sistemas de Recomendação: Fatoração de Matrizes (SVD e NMF)

Aprendizado Não Supervisionado

Autor

Marcos M. Raimundo — Instituto de Computação, UNICAMP

Data de Publicação

6 de novembro de 2026

Aula Exercícios

Nota

Este documento apresenta as resoluções completas e detalhadas das questões analíticas e o gabarito comentado item a item dos testes conceituais de Verdadeiro/Falso da Aula 10: Sistemas de Recomendação: Fatoração de Matrizes (SVD e NMF).

Questões Discursivas

Questão 1: Dedução das Equações de Mínimos Quadrados Alternados (ALS)

(a) Desacoplamento da Perda por Usuário

A perda regularizada restrita ao conjunto de observações \(\Omega\) é dada por: \[\mathcal{L}(P, Q) = \frac{1}{2}\sum_{(u, i) \in \Omega} (\tilde{r}_{ui} - \mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i)^2 + \frac{\lambda}{2}\sum_{u=1}^M \|\mathbf{p}_u\|_2^2 + \frac{\lambda}{2}\sum_{i=1}^N \|\mathbf{q}_i\|_2^2\] Reescrevendo a soma dupla agrupando os termos por usuário: \[\sum_{(u, i) \in \Omega} (\tilde{r}_{ui} - \mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i)^2 = \sum_{u=1}^M \sum_{i \in \mathcal{I}_u} (\tilde{r}_{ui} - \mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i)^2\] onde \(\mathcal{I}_u\) é o conjunto de itens avaliados pelo usuário \(u\). Fixando a matriz de itens \(Q\), o termo \(\frac{\lambda}{2}\sum_{i=1}^N \|\mathbf{q}_i\|_2^2\) torna-se uma constante aditiva que não depende de \(P\). Portanto, a perda total decompõe-se exatamente como uma soma de perdas independentes: \[\mathcal{L}(P \mid Q) = \sum_{u=1}^M \mathcal{L}_u(\mathbf{p}_u) + \text{constante}\] onde: \[\mathcal{L}_u(\mathbf{p}_u) = \frac{1}{2}\sum_{i \in \mathcal{I}_u} (\tilde{r}_{ui} - \mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i)^2 + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{p}_u\|_2^2\] Como cada função \(\mathcal{L}_u\) depende exclusivamente do vetor \(\mathbf{p}_u\) do usuário \(u\), e é uma forma quadrática com Hessiana \(\sum_{i \in \mathcal{I}_u} \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T + \lambda I_K \succ 0\), a minimização de \(P\) desacopla-se em \(M\) problemas estritamente convexos independentes.

(b) Derivação da Solução Fechada

Calculando o vetor gradiente de \(\mathcal{L}_u\) em relação a \(\mathbf{p}_u\): \[\nabla_{\mathbf{p}_u} \mathcal{L}_u = \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \left(\mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i - \tilde{r}_{ui}\right) \mathbf{q}_i + \lambda \mathbf{p}_u\] Utilizando a comutatividade do produto escalar \(\mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i = \mathbf{q}_i^T \mathbf{p}_u\) e rearranjando a multiplicação por \(\mathbf{q}_i\): \[\nabla_{\mathbf{p}_u} \mathcal{L}_u = \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \mathbf{q}_i (\mathbf{q}_i^T \mathbf{p}_u) - \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \tilde{r}_{ui} \mathbf{q}_i + \lambda \mathbf{p}_u = \left( \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T + \lambda I_K \right) \mathbf{p}_u - \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \tilde{r}_{ui} \mathbf{q}_i\] Igualando o gradiente a zero (\(\nabla_{\mathbf{p}_u} \mathcal{L}_u = \mathbf{0}\)): \[\left( \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T + \lambda I_K \right) \mathbf{p}_u = \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \tilde{r}_{ui} \mathbf{q}_i\] Como \(\lambda > 0\), a matriz entre parênteses é simétrica estritamente positiva definida e, portanto, invertível para qualquer quantidade de itens avaliados. Multiplicando pela inversa à esquerda: \[\mathbf{p}_u = \left( \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \mathbf{q}_i \mathbf{q}_i^T + \lambda I_K \right)^{-1} \sum_{i \in \mathcal{I}_u} \tilde{r}_{ui} \mathbf{q}_i\] o que demonstra a solução analítica exata.

(c) Importância para Computação Paralela Distribuída

Como cada vetor \(\mathbf{p}_u\) depende unicamente dos itens avaliados pelo usuário \(u\) e da matriz \(Q\), o cálculo para o usuário \(u_1\) é totalmente independente do cálculo para o usuário \(u_2\). Em uma infraestrutura de processamento distribuído (como Apache Spark com RDDs ou DataFrames): 1. A matriz \(Q\) (que cabe na memória RAM dos nós de computação, pois \(N \times K\) é relativamente pequena) é transmitida via broadcast para todos os nós; 2. As linhas de avaliações dos \(M\) usuários são particionadas horizontalmente entre os nós do cluster; 3. Cada máquina resolve seus sistemas lineares \(K \times K\) de forma perfeitamente paralela, sem nenhuma comunicação de rede inter-processos durante o passo! Essa arquitetura de embarrassingly parallel confere ao ALS escalabilidade linear imbatível.

Questão 2: Dedução das Regras Multiplicativas de Lee & Seung (2001) para a Perda de Frobenius

(a) Decomposição do Gradiente em Termos Positivos

A função de perda é dada por: \[\mathcal{L}(W, H) = \frac{1}{2} \|V - W H\|_F^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^N \left( v_{ij} - \sum_{l=1}^K W_{il} H_{lj} \right)^2\] Tomando a derivada parcial em relação a uma entrada específica \(H_{kj}\): \[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial H_{kj}} = \sum_{i=1}^M \left( \sum_{l=1}^K W_{il} H_{lj} - v_{ij} \right) W_{ik} = \sum_{i=1}^M (W H)_{ij} W_{ik} - \sum_{i=1}^M v_{ij} W_{ik}\] Reconhecendo as operações matriciais: - \(\sum_{i=1}^M W_{ik} (W H)_{ij} = (W^T (W H))_{kj} = (W^T W H)_{kj}\); - \(\sum_{i=1}^M W_{ik} v_{ij} = (W^T V)_{kj}\).

Portanto, a derivada parcial matricial é: \[\nabla_H \mathcal{L} = W^T W H - W^T V\] Em coordenadas escalares: \[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial H_{kj}} = (W^T W H)_{kj} - (W^T V)_{kj}\] Como \(V \ge 0, W \ge 0\) e \(H \ge 0\), os dois termos \((W^T W H)_{kj}\) e \((W^T V)_{kj}\) são somas e produtos de números não-negativos, sendo ambos estritamente não-negativos.

(b) Conexão com a Descida do Gradiente Adaptativa

Um passo geral de descida do gradiente com taxa adaptativa \(\eta_{kj}\) tem a forma: \[H_{kj} \leftarrow H_{kj} - \eta_{kj} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial H_{kj}}\] Substituindo a decomposição da derivada obtida no item (a): \[H_{kj} \leftarrow H_{kj} - \eta_{kj} \left( (W^T W H)_{kj} - (W^T V)_{kj} \right)\] Escolhendo a taxa de passo adaptativa \(\eta_{kj} = \frac{H_{kj}}{(W^T W H)_{kj}}\): \[H_{kj} \leftarrow H_{kj} - \frac{H_{kj}}{(W^T W H)_{kj}} (W^T W H)_{kj} + \frac{H_{kj}}{(W^T W H)_{kj}} (W^T V)_{kj}\] Cancelando o termo idêntico no denominador: \[H_{kj} \leftarrow H_{kj} - H_{kj} + H_{kj} \frac{(W^T V)_{kj}}{(W^T W H)_{kj}} = H_{kj} \frac{(W^T V)_{kj}}{(W^T W H)_{kj}}\] o que resulta exatamente na regra multiplicativa de Lee & Seung.

(c) Preservação da Não-Negatividade sem Projeção

Se as matrizes iniciais forem estritamente positivas (\(W^{(0)} > 0\) e \(H^{(0)} > 0\)), e os dados \(V \ge 0\): 1. O numerador \((W^T V)_{kj} = \sum_i W_{ik} v_{ij} \ge 0\); 2. O denominador \((W^T W H)_{kj} = \sum_i \sum_l W_{ik} W_{il} H_{lj} > 0\); 3. A razão multiplicativa \(\frac{(W^T V)_{kj}}{(W^T W H)_{kj}} \ge 0\) é garantidamente não-negativa.

Como o novo valor é o produto do valor anterior (não-negativo) por um fator não-negativo, temos \(H_{kj}^{\text{novo}} \ge 0\) em todas as iterações. É impossível que a variável cruze a fronteira para o domínio negativo, eliminando a necessidade de qualquer operador de truncamento ou projeção artificial.

Questão 3: O Dilema da Não-Unicidade da NMF e Matrizes Monomiais

(a) Invariância da Reconstrução

Seja \(\tilde{W} = W A\) e \(\tilde{H} = A^{-1} H\). Pela associatividade da multiplicação matricial: \[\tilde{W} \tilde{H} = (W A) (A^{-1} H) = W (A A^{-1}) H = W I_K H = W H = V\] Logo, qualquer matriz invertível \(A\) preserva exatamente a matriz reconstruída \(V\).

(b) Matrizes Monomiais como Soluções Válidas

Uma matriz monomial \(A \in \mathbb{R}^{K \times K}\) é definida como \(A = P D\), onde \(P\) é uma matriz de permutação e \(D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_K)\) com \(d_k > 0\). 1. Como \(P\) contém apenas 0s e 1s, e \(D\) contém entradas positivas, todos os elementos de \(A\) são não-negativos: \(A \ge 0\). 2. A inversa de uma matriz monomial é dada por \(A^{-1} = (P D)^{-1} = D^{-1} P^{-1} = D^{-1} P^T\). Como \(D^{-1} = \operatorname{diag}(1/d_1, \dots, 1/d_K)\) possui apenas entradas positivas e \(P^T\) é também uma matriz de permutação não-negativa, temos \(A^{-1} \ge 0\). 3. Se \(W \ge 0\) e \(A \ge 0\), o produto \(\tilde{W} = W A \ge 0\). 4. Se \(H \ge 0\) e \(A^{-1} \ge 0\), o produto \(\tilde{H} = A^{-1} H \ge 0\). Assim, \((\tilde{W}, \tilde{H})\) satisfaz estritamente as restrições da NMF. Essa transformação apenas permuta a ordem dos fatores latentes e reescalona suas magnitudes por constantes positivas inversas, correspondendo a uma ambiguidade inofensiva.

(c) Espaço Aberto e a Não-Unicidade Contínua (Donoho & Stodden, 2004)

Geometricamente, as colunas de \(W\) representam as arestas extremas de um cone convexo cônico \(\mathcal{C}(W) = \{\mathbf{v} \mid \mathbf{v} = W \mathbf{h}, \mathbf{h} \ge 0\}\). Para que a fatoração seja exata, todas as colunas de dados de \(V\) devem estar contidas no interior desse cone: \(\mathbf{v}_j \in \mathcal{C}(W)\). Se os dados não tocam as fronteiras dos eixos coordenados, existe um “espaço aberto” (open gap) entre o feixe de pontos e os limites do primeiro quadrante. Nessa situação, podemos girar ou inclinar continuamente os vetores geradores \(\mathbf{w}_k\) para dentro ou para fora nesse espaço vazio (correspondendo a matrizes contínuas \(A\) que não são monomiais), mantendo todos os pontos dentro do novo cone \(\mathcal{C}(\tilde{W})\) e preservando \(\tilde{W} \ge 0\) e \(\tilde{H} \ge 0\). Portanto, a solução encontrada pelas regras de otimização depende sensivelmente da inicialização, e os fatores latentes individuais não são matematicamente identificáveis de forma única sem restrições suplementares (como esparsidade \(L_1\)).

Questão 4: Preditores de Linha de Base e Regularização Bayesiana

(a) Derivação do Estimador de Viés Regularizado

A função de perda regularizada para um usuário isolado é: \[\mathcal{L}(b_u) = \frac{1}{2}\sum_{i \in \mathcal{I}_u} (r_{ui} - \mu - b_u)^2 + \frac{\lambda}{2} b_u^2\] Derivando em relação a \(b_u\): \[\frac{d \mathcal{L}}{d b_u} = \sum_{i \in \mathcal{I}_u} -(r_{ui} - \mu - b_u) + \lambda b_u = -\sum_{i \in \mathcal{I}_u} (r_{ui} - \mu) + \sum_{i \in \mathcal{I}_u} b_u + \lambda b_u\] Como a soma de \(b_u\) sobre \(\mathcal{I}_u\) resulta em \(|\mathcal{I}_u| b_u\): \[\frac{d \mathcal{L}}{d b_u} = -\sum_{i \in \mathcal{I}_u} (r_{ui} - \mu) + (|\mathcal{I}_u| + \lambda) b_u\] Igualando a zero: \[(|\mathcal{I}_u| + \lambda) b_u = \sum_{i \in \mathcal{I}_u} (r_{ui} - \mu) \implies b_u = \frac{\sum_{i \in \mathcal{I}_u} (r_{ui} - \mu)}{|\mathcal{I}_u| + \lambda}\] Multiplicando e dividindo por \(|\mathcal{I}_u|\): \[b_u = \left(\frac{|\mathcal{I}_u|}{|\mathcal{I}_u| + \lambda}\right) \left[ \frac{1}{|\mathcal{I}_u|}\sum_{i \in \mathcal{I}_u} (r_{ui} - \mu) \right] = \left(\frac{|\mathcal{I}_u|}{|\mathcal{I}_u| + \lambda}\right) \bar{r}_u\]

(b) Comportamento em Amostras Pequenas vs Grandes (\(\lambda = 20\))

  • Caso 1: Usuário Novo com 1 Avaliação (\(|\mathcal{I}_u| = 1\)): Suponha que ele avaliou um filme atribuindo nota 5 quando a média era \(\mu = 3\), gerando \(\bar{r}_u = +2{,}0\). O viés estimado será: \[b_u = \left(\frac{1}{1 + 20}\right) (+2{,}0) = \frac{1}{21} (+2{,}0) \approx +0{,}095\] O viés é fortemente amortecido de \(+2{,}0\) para quase zero (\(+0{,}095\)). O modelo evita rotular o usuário como extremamente generoso com base em apenas uma evidência amostral.
  • Caso 2: Usuário Veterano com 500 Avaliações (\(|\mathcal{I}_u| = 500\)): \[b_u = \left(\frac{500}{500 + 20}\right) \bar{r}_u = \frac{500}{520} \bar{r}_u \approx 0{,}9615 \cdot \bar{r}_u\] A regularização preserva \(96{,}2\%\) da média empírica do usuário. Como há evidência empírica abundante, o modelo confia plenamente nos dados observados.

(c) Conexão com Encolhimento Bayesiano (Shrinkage)

Essa fórmula é a expressão exata do estimador de Máxima Verossimilhança a Posteriori (MAP) sob uma priori Gaussiana \(b_u \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_0)\) e verossimilhança Gaussiana dos resíduos com variância \(\sigma^2\): \[\lambda = \frac{\sigma^2}{\sigma^2_0}\] O hiperparâmetro \(\lambda\) atua como um número fictício de “pseudo-observações” que puxam o viés em direção à média nula da priori. Esse mecanismo de encolhimento bayesiano impede que a esparsidade dos dados crie artefatos espúrios no sistema de recomendação.

Testes Conceituais

Teste 1: A Natureza dos Dados e o Colapso da SVD Clássica

  • (A) Verdadeiro. O Teorema de Eckart-Young-Mirsky opera sobre a norma de Frobenius completa da matriz \(\|R - \hat{R}\|_F^2 = \sum_{u=1}^M \sum_{i=1}^N (r_{ui} - \hat{r}_{ui})^2\), exigindo que toda entrada seja conhecida.
  • (B) Falso. Em sistemas industriais reais (Netflix, Spotify), a proporção de avaliações ausentes é tipicamente superior a \(99\%\) (esparsidade de \(99{,}5\%\) a \(99{,}9\%\)).
  • (C) Verdadeiro. Preencher células não avaliadas com zero faz com que o modelo trate filmes desconhecidos como se tivessem recebido nota zero (pior que a pior avaliação de 1 estrela), gerando predições sistematicamente subestimadas.
  • (D) Falso. A imputação pela média destrói a variabilidade real entre usuários e itens e sobrecarrega a computação da SVD, forçando o modelo a ajustar milhões de valores artificiais idênticos.

Teste 2: O Modelo de Fatores Latentes e Preditores de Linha de Base

  • (A) Verdadeiro. O cerne da filtragem colaborativa bilinear é que \(\hat{r}_{ui}\) depende do alinhamento angular e magnitude entre o perfil do usuário \(\mathbf{p}_u\) e a assinatura do item \(\mathbf{q}_i\): \(\mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i = \sum_k p_{uk} q_{ik}\).
  • (B) Verdadeiro. O viés \(b_i\) mede o desvio médio do item em relação ao catálogo (obras aclamadas recebem \(b_i > 0\) e filmes de baixa qualidade recebem \(b_i < 0\)), independentemente de quem os assista.
  • (C) Verdadeiro. A penalização de Tikhonov puxa os vieses de usuários com poucos dados para zero, evitando que um único voto casual de 5 estrelas infle o viés do usuário para valores extremos.
  • (D) Falso. O produto interno \(\mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i\) somado aos vieses pode, em princípio, resultar em qualquer valor real (ex.: \(0{,}4\) ou \(5{,}8\)). Na implementação prática, é necessário aplicar uma função de saturação (clipping) para manter a nota entre 1 e 5.

Teste 3: Otimização Bilinear via SGD de Funk

  • (A) Falso. O produto bilinear \(\mathbf{p}_u^T \mathbf{q}_i\) cria uma superfície de perda não-convexa conjunta, repleta de múltiplos mínimos locais e pontos de sela.
  • (B) Verdadeiro. Como \(\nabla_{\mathbf{p}_u} \mathcal{L}_{ui} = -e_{ui} \mathbf{q}_i + \lambda \mathbf{p}_u\), a correção nos fatores do usuário é guiada diretamente pelas características do filme avaliado.
  • (C) Verdadeiro. O SGD opera exclusivamente sobre as entradas conhecidas \(|\Omega|\). Para cada nota observada, realiza-se um produto interno e atualizações vetoriais em \(\mathcal{O}(K)\), resultando em complexidade linear \(\mathcal{O}(|\Omega| \cdot K)\) por época.
  • (D) Verdadeiro. Se \(e_{ui} = 0\), a derivada do erro zera, mas o gradiente de regularização \(\lambda \mathbf{p}_u\) continua ativo: \(\mathbf{p}_u \leftarrow (1 - \gamma \lambda)\mathbf{p}_u\). O vetor sofre uma contração suave.

Teste 4: O Algoritmo Alternating Least Squares (ALS)

  • (A) Verdadeiro. Mantendo \(Q\) fixo, a perda decompõe-se em \(M\) problemas independentes de regressão linear regularizada (Ridge), cada um com Hessiana positiva definida e mínimo global único.
  • (B) Verdadeiro. Como cada meia-etapa do ALS resolve exatamente o minimizador global da subperda em relação ao bloco de variáveis ativas, a perda total é monotônica não-crescente a cada iteração.
  • (C) Verdadeiro. A solução fechada para cada usuário requer inverter a matriz \((Q_{\mathcal{I}_u}^T Q_{\mathcal{I}_u} + \lambda I)\), que possui dimensão \(K \times K\) (onde tipicamente \(K \in [20, 100]\)).
  • (D) Falso. A regularização \(L_2\) é fundamental no ALS e preserva a linearidade do sistema, atuando como o termo \(\lambda I_K\) que garante a invertibilidade estrita da matriz normal.

Teste 5: A Filosofia e a Geometria da NMF

  • (A) Verdadeiro. Os autovetores da PCA possuem entradas positivas e negativas que combinam adições e subtrações globais para reconstruir imagens, criando representações holísticas abstratas.
  • (B) Verdadeiro. Ao proibir números negativos nas matrizes de base e coeficientes (\(W \ge 0, H \ge 0\)), cancelamentos subtrativos são inviabilizados, forçando o modelo a expressar cada dado puramente como a soma de partes construtivas.
  • (C) Verdadeiro. Toda coluna reconstruída \(\hat{\mathbf{v}}_j = W \mathbf{h}_j = \sum_k h_{kj} \mathbf{w}_k\) com \(h_{kj} \ge 0\) é uma combinação cônica dos vetores de base \(\mathbf{w}_k\), residindo obrigatoriamente dentro do cone convexo gerado por \(W\).
  • (D) Falso. A NMF é um problema de otimização não-convexa com múltiplos mínimos locais e sensibilidade aos pontos iniciais \(W^{(0)}\) e \(H^{(0)}\).

Teste 6: Funções de Perda e Modelagem Probabilística na NMF

  • (A) Verdadeiro. Minimizar a distância de Frobenius \(\|V - WH\|_F^2\) corresponde à maximização de log-verossimilhança sob a suposição de que \(v_{ij} \sim \mathcal{N}((WH)_{ij}, \sigma^2)\) com ruído gaussiano aditivo independente.
  • (B) Verdadeiro. A divergência KL generalizada deduz-se diretamente da verossimilhança de variáveis de Poisson \(v_{ij} \sim \operatorname{Poisson}((WH)_{ij})\), ideal para contagens de palavras e eventos discretos.
  • (C) Falso. A divergência de Kullback-Leibler é intrinsecamente assimétrica: \(\mathcal{D}_{KL}(V \parallel WH) \neq \mathcal{D}_{KL}(WH \parallel V)\).
  • (D) Verdadeiro. Ambas as medidas são distâncias estatísticas próprias que assumem valor estritamente zero se e somente se as matrizes forem identicamente iguais (\(WH = V\)).

Teste 7: As Regras de Atualização Multiplicativas de Lee & Seung

  • (A) Verdadeiro. Cada elemento é atualizado multiplicativamente por uma razão de matrizes positivas: \(H_{kj} \leftarrow H_{kj} \frac{(W^T V)_{kj}}{(W^T WH)_{kj}}\).
  • (B) Verdadeiro. Se \(H_{kj} = 0\), o produto \(0 \cdot R_{kj} = 0\). O zero é um ponto absorvente fixo das regras multiplicativas.
  • (C) Falso. As regras multiplicativas preservam a não-negatividade de forma nativa e automática, não necessitando de nenhuma etapa de projeção.
  • (D) Verdadeiro. Em um ponto crítico estacionário onde \(\nabla_H \mathcal{L} = \mathbf{0}\), temos \((W^T WH)_{kj} = (W^T V)_{kj}\). A razão torna-se 1, mantendo os parâmetros estáticos.

Teste 8: Não-Unicidade, Identificabilidade e Aplicações

  • (A) Falso. A SVD possui bases ortogonais únicas a menos de troca de sinal e permutação de autovalores. A NMF não impõe ortogonalidade e admite famílias contínuas de transformações cônicas invertíveis.
  • (B) Verdadeiro. Como \((W A)(A^{-1} H) = W H\), multiplicar uma coluna de \(W\) por \(c > 0\) e dividir a linha de \(H\) por \(c\) preserva exatamente a matriz reconstruída e a não-negatividade.
  • (C) Verdadeiro. Donoho & Stodden (2004) provaram que se houver espaço aberto entre os dados e as faces do ortante, existem infinitas rotações cônicas que satisfazem as restrições da NMF.
  • (D) Verdadeiro. A penalização de esparsidade \(L_1\) induz zeros nos fatores, forçando os vetores a ancorarem nas bordas do cone e restringindo a ambiguidade de rotação da NMF.

Teste 9: Leitura do Espaço Latente e Suposições

  • (A) Falso. A norma reflete principalmente a quantidade de sinal: com poucas avaliações, a regularização mantém \(\mathbf{q}_i\) perto da origem. O nível geral de aprovação de um filme fica em \(b_i\).
  • (B) Verdadeiro. \((PG)(QG^{-T})^T=PGG^{-1}Q^T=PQ^T\). A perda fixa as previsões, não os eixos; o nome do eixo precisa ser conferido com informação externa.
  • (C) Verdadeiro. As notas retidas vêm da mesma seleção dos dados de treino. Quando a falta depende da nota (MNAR), as células nunca observadas têm outra distribuição, e mais dados coletados do mesmo modo não corrigem isso.
  • (D) Falso. Uma soma de termos não negativos só é zero se todos os termos forem zero; são os zeros reais que empurram os fatores a atuar em subconjuntos. Com a máscara, nenhum zero entra no ajuste, e essa pressão desaparece.