Soluções — Aula 5: Decomposição em Valores Singulares (SVD)

Gabarito de exercicios.qmd

Autor

Prof. Marcos Medeiros Raimundo

Aula Exercícios

Teste 1 — Existência e formato da SVD

□ A SVD de \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) sempre existe, mesmo quando \(A\) tem alguns autovalores complexos (no caso em que \(A\) é quadrada).
□ Se \(A\in\mathbb{R}^{5\times 2}\) tiver posto \(2\), sua matriz \(\Sigma\) na SVD reduzida é uma matriz diagonal \(2\times 2\) com ambas as entradas estritamente positivas.
□ Numa matriz de adjacência de um grafo bipartido (linhas = usuários, colunas = produtos, entrada \(1\) se o usuário comprou o produto), a SVD está bem definida mesmo que o número de usuários seja muito diferente do número de produtos.
□ Como toda matriz quadrada tem autovalores (reais ou complexos) e toda matriz retangular tem valores singulares, isso implica que autovalor e valor singular são, no fundo, o mesmo conceito com nomes diferentes.

(Resposta) Teste 1 — Existência e formato da SVD

✔ Verdadeiro — A construção da SVD nunca usa os autovalores de \(A\) propriamente dita — usa os autovalores de \(A^TA\), que são sempre reais e não-negativos, qualquer que seja \(A\). Uma matriz de rotação \(2\times 2\), por exemplo, tem autovalores complexos mas SVD perfeitamente real e bem definida (\(U=V=I\), \(\Sigma=I\), já que rotações preservam norma).
✔ Verdadeiro — O número de valores singulares estritamente positivos é, por construção, exatamente igual ao posto de \(A\). Posto \(2\) (o máximo possível para uma matriz de \(2\) colunas) significa exatamente \(2\) valores singulares positivos — a SVD reduzida, ao descartar as direções com \(\sigma=0\), fica com \(\Sigma\) diagonal \(2\times 2\) sem nenhum zero na diagonal.
✔ Verdadeiro — A existência da SVD não impõe nenhuma relação entre \(m\) e \(n\) — a SVD existe para qualquer \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\), incluindo matrizes extremamente “compridas” ou “largas” (é exatamente o caso da matriz de design \(X\) do exemplo do California Housing, \(16\,640\times 4\)).
✗ Falso — São conceitos relacionados, não idênticos. Autovalor satisfaz \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\) (mesmo espaço nos dois lados); valor singular satisfaz \(A\mathbf{v}_i=\sigma_i\mathbf{u}_i\) (espaços possivelmente diferentes, já que \(A\) pode ser retangular). Só coincidem, e mesmo assim a menos de sinal, quando \(A\) é simétrica (ver bloco “SVD vs. decomposição espectral”).

Teste 2 — Construção via \(A^TA\) e \(AA^T\)

□ Se \(A^TA\) tiver um autovalor com multiplicidade geométrica \(2\) (autoespaço de dimensão \(2\)), os dois vetores singulares à direita associados a esse autovalor não são únicos — qualquer base ortonormal desse autoespaço serve.
□ Se \(A\) for a matriz nula (\(A=\mathbf{0}\), todas as entradas zero), a construção da SVD descrita acima ainda produz uma SVD válida, com todos os valores singulares iguais a zero.
□ Numa matriz de co-ocorrência de palavras (linhas e colunas ambas indexadas pelo vocabulário, entrada = frequência conjunta), \(A^TA\) e \(AA^T\) continuam sendo, cada uma, simétricas e semidefinidas positivas, pela mesma prova geral (ver Convenções).
□ Como os vetores singulares à esquerda são definidos como \(\mathbf{u}_i=A\mathbf{v}_i/\sigma_i\), isso implica que, para calcular \(U\), é sempre necessário calcular também a decomposição espectral de \(AA^T\) separadamente.

(Resposta) Teste 2 — Construção via \(A^TA\) e \(AA^T\)

✔ Verdadeiro — Dentro de um autoespaço de dimensão \(\ge 2\), qualquer base ortonormal desse subespaço é uma escolha válida de autovetores (mesmo fenômeno de não-unicidade de autovetores em autoespaços de dimensão \(>1\)). Como os vetores singulares à direita são autovetores de \(A^TA\), a mesma não-unicidade se aplica — e os vetores singulares à esquerda correspondentes (\(\mathbf{u}_i=A\mathbf{v}_i/\sigma_i\)) se ajustam automaticamente para qualquer escolha de base feita.
✔ Verdadeiro — \(A=\mathbf{0}\Rightarrow A^TA=\mathbf{0}\), cujo único autovalor é \(\lambda=0\) (multiplicidade \(n\)) — logo todo \(\sigma_i=\sqrt{0}=0\). A decomposição \(A=U\Sigma V^T\) com \(\Sigma=\mathbf{0}\) vale para qualquer escolha ortogonal de \(U,V\) (por exemplo \(U=I_m,V=I_n\)) — um caso degenerado, mas ainda uma SVD tecnicamente válida, consistente com a existência da SVD não excluir \(\text{posto}(A)=0\).
✔ Verdadeiro — A prova de que \(A^TA\) (e, por simetria do argumento, \(AA^T\)) é simétrica e semidefinida positiva não faz nenhuma suposição sobre o que as entradas de \(A\) representam — vale para qualquer matriz real, seja ela de preços de imóveis, notas de filmes ou frequências de co-ocorrência de palavras.
✗ Falso — Essa é precisamente a economia que a construção oferece: uma vez que \(V\) já foi obtida diagonalizando \(A^TA\), \(U\) vem de graça, calculando \(\mathbf{u}_i=A\mathbf{v}_i/\sigma_i\) diretamente — sem nenhuma diagonalização adicional de \(AA^T\). (É verdade que \(AA^T\) tem os mesmos \(\mathbf{u}_i\) como autovetores, mas isso é uma caracterização alternativa, não um passo obrigatório do cálculo.)

Teste 3 — Valores singulares e norma espectral

□ Se todos os valores singulares de \(A\) forem iguais a um mesmo valor \(c>0\), então \(\|A\mathbf{x}\|_2=c\|\mathbf{x}\|_2\) para todo vetor \(\mathbf{x}\), não só para o vetor que maximiza a razão.
□ Para uma matriz identidade \(I_n\in\mathbb{R}^{n\times n}\), a norma espectral \(\|I_n\|_2\) tende a infinito conforme \(n\to\infty\).
□ Na matriz de pesos de uma camada linear de uma rede neural, \(\|W\|_2\) (a norma espectral) limita o quanto essa camada pode, no pior caso, amplificar a norma de um vetor de ativação que passa por ela.
□ Como a norma espectral é o maior valor singular, isso implica que a soma de todos os valores singulares de \(A\) é igual à norma de Frobenius de \(A\).

(Resposta) Teste 3 — Valores singulares e norma espectral

✗ Falso — A igualdade \(\|A\mathbf{x}\|_2 = c\|\mathbf{x}\|_2\) só é válida para todo \(\mathbf{x}\) se \(A\) for uma matriz quadrada ou alta (\(m \ge n\)). Para matrizes largas (\(m < n\)), mesmo que todos os \(m\) valores singulares sejam iguais a \(c\), existe um núcleo não-trivial (\(\text{dim}(\text{null}(A)) \ge n - m \ge 1\)). Para qualquer vetor não-nulo \(\mathbf{x} \in \text{null}(A)\), obtém-se \(\|A\mathbf{x}\|_2 = 0 \neq c\|\mathbf{x}\|_2\).
✗ Falso — \(\|I_n\mathbf{x}\|_2/\|\mathbf{x}\|_2=1\) para todo \(\mathbf{x}\ne\mathbf{0}\) e todo \(n\) — a norma espectral de \(I_n\) é sempre exatamente \(1\) (todos os valores singulares de \(I_n\) são \(1\)), independente da dimensão.
✔ Verdadeiro — É exatamente a definição de norma espectral aplicada a \(W\): \(\|W\|_2=\max_{\mathbf{x}\ne\mathbf{0}}\|W\mathbf{x}\|_2/\|\mathbf{x}\|_2\) — o maior fator de amplificação possível. Essa é a base de técnicas de regularização por normalização espectral em redes neurais profundas.
✗ Falso — Confunde três normas matriciais distintas: a norma espectral é \(\sigma_1\) (o maior); a norma de Frobenius é \(\sqrt{\sum_i\sigma_i^2}\) (soma dos quadrados, com raiz); a soma simples \(\sum_i\sigma_i\) é uma quarta quantidade (a norma nuclear), diferente das outras duas.

Teste 4 — Aproximação de baixo posto e SVD truncada

□ Se \(\sigma_3\) de uma matriz \(A\) de posto \(5\) for exatamente igual a \(\sigma_4\), a aproximação de posto \(3\), \(\hat{A}^{(3)}\), ainda assim fica bem definida e única.
□ No limite em que se usa \(k=\text{posto}(A)\) (isto é, sem truncar nada), a aproximação \(\hat{A}^{(k)}\) coincide exatamente com \(A\).
□ Numa matriz de avaliações de estudantes (linhas = estudantes, colunas = provas, entrada = nota), uma aproximação de posto \(1\) equivaleria, aproximadamente, a resumir cada estudante por uma única nota de “habilidade geral” e cada prova por um único peso de “dificuldade”.
□ Como a aproximação de posto-\(k\) descarta os \(\sigma_i\) menores, isso implica que ela sempre preserva os valores absolutos exatos das entradas mais extremas (maiores em módulo) da matriz original \(A\).

(Resposta) Teste 4 — Aproximação de baixo posto e SVD truncada

✗ Falso — O Teorema de Eckart-Young-Mirsky garante que o valor do erro mínimo, \(\sigma_4\), é bem definido — mas não garante que a matriz minimizadora seja única quando há empate entre \(\sigma_k\) e \(\sigma_{k+1}\). Com \(\sigma_3=\sigma_4\), o subespaço de \(2\) dimensões associado a esse valor singular repetido admite infinitas escolhas ortonormais equivalentes (mesmo fenômeno de autoespaço de dimensão \(\ge 2\) do bloco anterior), e diferentes escolhas produzem diferentes matrizes \(\hat{A}^{(3)}\), todas atingindo o mesmo erro mínimo — a unicidade da matriz só é garantida quando \(\sigma_k>\sigma_{k+1}\) estritamente.
✔ Verdadeiro — Com \(k=r=\text{posto}(A)\), a soma \(\hat{A}^{(k)}=\sum_{i=1}^k\sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T\) inclui todos os termos não-nulos da decomposição \(A=\sum_{i=1}^r\sigma_i\mathbf{u}_i\mathbf{v}_i^T\) — não há nada para descartar, logo \(\hat{A}^{(k)}=A\) exatamente (erro \(\sigma_{k+1}=0\), já que não existe \((k+1)\)-ésimo valor singular não-nulo).
✔ Verdadeiro — Mesma interpretação usada para a matriz de notas de filmes (ver Convenções em exercicios.qmd): num rank-1, \(\hat{A}^{(1)}=\sigma_1\mathbf{u}_1\mathbf{v}_1^T\), cada entrada vira um produto de um número por estudante (\(\mathbf{v}_1\), “habilidade”) por um número por prova (\(\mathbf{u}_1\), “dificuldade”) — a mesma estrutura matemática usada em modelos clássicos de teoria de resposta ao item (IRT) de um parâmetro.
✗ Falso — A aproximação de baixo posto é uma projeção de \(A\) sobre o subespaço de matrizes de posto \(\le k\) — ela minimiza o erro agregado (em norma espectral ou de Frobenius), não preserva nenhuma entrada individual exatamente. No exemplo da matriz de notas de filmes (ver Convenções), mesmo as notas máximas (\(5\)) da matriz original viram \(4{,}78\), \(4{,}97\) etc. na aproximação de posto \(2\) — nenhuma entrada extrema fica intacta.

Teste 5 — Eckart-Young-Mirsky

□ Se existisse uma matriz \(B\) de posto \(k\) com \(\|A-B\|_2\) estritamente menor que \(\|A-\hat{A}^{(k)}\|_2\), isso contradiria diretamente o Teorema de Eckart-Young-Mirsky.
□ No caso extremo \(k=0\) (a única matriz de “posto \(0\)” é a matriz nula), o Teorema de Eckart-Young-Mirsky garante que \(\|A-\mathbf{0}\|_2=\sigma_1\), isto é, a própria norma espectral de \(A\).
□ Num sistema de compressão de imagens que usa aproximação de baixo posto (como o clássico exemplo de comprimir a imagem de um monumento reduzindo o posto de sua matriz de pixels), a mesma garantia de otimalidade do Teorema de Eckart-Young-Mirsky se aplica, já que comprimir uma imagem é, matematicamente, aproximar sua matriz de pixels por uma de posto menor.
□ O próprio nome “Eckart-Young-Mirsky” vem da generalização de Mirsky (1960): a mesma \(\hat{A}^{(k)}\) que minimiza \(\|A-B\|_2\) também minimiza \(\|A-B\|_F\) (norma de Frobenius) entre as matrizes de posto \(k\) — e, por ser a mesma matriz minimizadora nos dois casos, isso implica que o valor mínimo do erro é numericamente igual nas duas normas.

(Resposta) Teste 5 — Eckart-Young-Mirsky

✔ Verdadeiro — É a própria definição de \(\hat{A}^{(k)}\) ser o minimizador de \(\|A-B\|_2\) sobre todas as matrizes de posto \(k\) — por definição de mínimo, nenhuma outra matriz de posto \(k\) pode fazer estritamente melhor. Encontrar tal \(B\) seria, literalmente, uma contradição da tese do teorema.
✔ Verdadeiro — Com \(k=0\), \(\hat{A}^{(0)}=\mathbf{0}\) (soma vazia) e a fórmula do erro mínimo dá \(\|A-\hat{A}^{(0)}\|_2=\sigma_{0+1}=\sigma_1\) — que é exatamente \(\|A\|_2\), a própria norma espectral de \(A\) (ver Convenções). Os dois resultados ficam consistentes nesse caso-limite, como deveriam.
✔ Verdadeiro — Uma imagem em tons de cinza é, matematicamente, só uma matriz de valores de pixel — a aproximação de posto-\(k\) dessa matriz é ótima em norma espectral pela mesma prova geral do teorema, independente de a matriz representar preços de imóveis, notas de filmes ou intensidades de pixel.
✗ Falso — A premissa está correta — Mirsky (1960) estendeu o resultado original de Eckart-Young (que valia para a norma de Frobenius) para mostrar que a mesma \(\hat{A}^{(k)}\) minimiza o erro em qualquer norma unitariamente invariante, incluindo a espectral e a de Frobenius simultaneamente (é por isso que o teorema leva os três nomes). Mas a conclusão do item erra: minimizadora igual não significa valor mínimo igual — em norma espectral o erro mínimo é \(\sigma_{k+1}\); em norma de Frobenius é \(\sqrt{\sum_{i>k}\sigma_i^2}\) (soma de todos os valores singulares descartados, não só o primeiro). Verificação numérica na matriz de notas de filmes (\(k=1\), ver Convenções): erro espectral \(\approx6{,}364\) contra erro de Frobenius \(\approx6{,}403\) — próximos, mas não iguais.

Teste 6 — Decomposição Polar

□ Se a matrix quadrada \(A\) já for ortogonal (\(A^TA=I\)), sua Decomposição Polar tem \(S=I\) e \(Q=A\).
□ Se todos os valores singulares da matrix quadrada \(A\) forem iguais entre si (\(\sigma_1=\dots=\sigma_n=c\)), o fator \(S\) da Decomposição Polar é exatamente \(cI\) (um múltiplo escalar da identidade).
□ Numa iteração de treinamento de rede neural que ortogonaliza a matriz de atualização de pesos antes de aplicá-la (o algoritmo iterativo de Newton-Schulz), o alvo dessa ortogonalização é precisamente o fator \(Q\) da Decomposição Polar da matriz de atualização original.
□ Como \(S\) é sempre semidefinida positiva na Decomposição Polar, isso implica que \(S\) é sempre invertível, qualquer que seja \(A\).

(Resposta) Teste 6 — Decomposição Polar

✔ Verdadeiro — \(A\) ortogonal \(\Rightarrow A^TA=I\Rightarrow\) todos os autovalores de \(A^TA\) são \(1\) \(\Rightarrow\) todos os \(\sigma_i=1\) \(\Rightarrow\Sigma=I\). Daí \(S=V\Sigma V^T=VIV^T=I\), e como \(A=QS=QI=Q\), segue \(Q=A\) necessariamente — não há ambiguidade nesse caso, porque \(S=I\) já fixa \(Q\) de forma única.
✔ Verdadeiro — \(S=V\Sigma V^T=V(cI)V^T=c(VV^T)=cI\) (usando \(VV^T=I\), \(V\) ortogonal) — o mesmo cálculo do item (a) do bloco “Valores singulares e norma espectral”, agora aplicado à Decomposição Polar.
✔ Verdadeiro — Newton-Schulz é um método iterativo que converge para o fator \(Q\) (ortogonal) da Decomposição Polar de uma matriz, sem calcular a SVD completa — mais barato computacionalmente para matrizes grandes de atualização de pesos.
✗ Falso — Semidefinida positiva não é o mesmo que definida positiva/invertível — se \(A\) for singular (algum \(\sigma_i=0\)), \(S=V\Sigma V^T\) tem esse mesmo autovalor \(0\), logo \(S\) também é singular. A mesma confusão (semidefinida positiva \(\ne\) invertível) aparece no bloco seguinte destes Exercícios.

Teste 7 — SVD vs. decomposição espectral

□ Se \(A\) for simétrica, a SVD de \(A\) e a decomposição espectral de \(A\) (ver Convenções) coincidem exatamente, com \(U=V=Q\) e \(\Sigma=|\Lambda|\) (valor absoluto de cada autovalor).
□ Se \(A\) for simétrica mas tiver algum autovalor negativo, os vetores singulares (à esquerda ou à direita) associados a esse autovalor podem diferir, em sinal, do autovetor correspondente da decomposição espectral.
□ Numa matriz de covariância empírica de atributos (sempre simétrica semidefinida positiva), calcular a SVD ou a decomposição espectral dá exatamente o mesmo resultado, sem nenhuma diferença de sinal a se preocupar.
□ Como toda matriz simétrica tem decomposição espectral (ver Convenções), isso implica que só matrizes simétricas têm SVD, já que a SVD seria apenas um caso particular da decomposição espectral.

(Resposta) Teste 7 — SVD vs. decomposição espectral

✗ Falso — A afirmação só vale quando \(A\) é, além de simétrica, semidefinida positiva (todos os autovalores \(\ge 0\)): definindo \(U=V=Q\) e \(\Sigma=\Lambda\), a SVD de uma matriz simétrica semidefinida positiva coincide com sua decomposição espectral. Para uma matriz simétrica com algum autovalor negativo, \(U\) e \(V\) não podem ser iguais entre si e iguais a \(Q\) simultaneamente — ver item (b) a seguir.
✔ Verdadeiro — Para um autovalor \(\lambda_i<0\) de \(A=Q\Lambda Q^T\), \(\lambda_i\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T=(-\lambda_i)(-\mathbf{q}_i)\mathbf{q}_i^T\), com \(-\lambda_i=|\lambda_i|=\sigma_i>0\) — ou seja, para manter \(\sigma_i\ge 0\) (exigido na definição de valor singular), é preciso inverter o sinal de exatamente um dos dois vetores (\(\mathbf{u}_i\) ou \(\mathbf{v}_i\), não ambos) em relação ao autovetor \(\mathbf{q}_i\) original. É precisamente por isso que o item (a) é falso em geral.
✔ Verdadeiro — Matrizes de covariância nunca têm autovalor negativo — logo caem exatamente na condição do item (a): \(U=V=Q\), \(\Sigma=\Lambda\) diretamente, sem nenhum ajuste de sinal necessário.
✗ Falso — A relação de continência é exatamente o oposto do que o item afirma: a SVD existe para qualquer matriz, quadrada ou não, simétrica ou não — é a decomposição espectral que é o caso restrito, exigindo simetria (ou, mais geralmente, diagonalizabilidade com autovalores reais). É a decomposição espectral que é um caso particular da SVD (quando \(A\) é simétrica semidefinida positiva), não o contrário.

Teste 8 — A SVD aplicada a \(X\): posto e número de condição

□ Se uma quinta coluna fosse adicionada a uma matriz de design \(X\in\mathbb{R}^{16\,640\times4}\) como cópia exata de uma coluna já existente (multiplicada por um escalar não-nulo), o quinto valor singular da nova matriz \(X'\in\mathbb{R}^{16\,640\times 5}\) seria exatamente zero.
□ Aumentar artificialmente a escala de uma única coluna de \(X\) (por exemplo, medir um atributo em unidades \(1000\times\) maiores) nunca muda nenhum dos valores singulares de \(X\).
□ Num modelo de regressão sobre o dataset Breast Cancer Wisconsin (atributos em escalas bem diferentes, como área do núcleo celular vs. simetria), a mesma relação \(\text{cond}(X^TX)=\text{cond}(X)^2\) se aplicaria à matriz de design correspondente.
□ Como \(\sigma_i(X)^2=\lambda_i(X^TX)\) para todo \(i\), isso implica que o vetor singular à esquerda \(\mathbf{u}_1\) de \(X\) é igual ao autovetor principal de \(X^TX\).

(Resposta) Teste 8 — A SVD aplicada a \(X\): posto e número de condição

✔ Verdadeiro — Uma cópia escalada de uma coluna já existente é, por definição, uma combinação linear das colunas de \(X\) — o posto de \(X'\) permanece \(4\) (o mesmo de \(X\)), mesmo com \(5\) colunas. Como o número de valores singulares não-nulos é igual ao posto, o \(5^o\) valor singular de \(X'\) é exatamente zero — o mesmo fenômeno de multicolinearidade exata visto anteriormente nesta disciplina, agora visto pela lente dos valores singulares.
✗ Falso — Os valores singulares dependem da matriz inteira, não são invariantes a reescala de uma única coluna — multiplicar uma coluna por \(1000\) muda \(X^TX\) (e, portanto, seus autovalores/valores singulares associados) de forma substancial. É o mesmo aviso de que a covariância bruta (sem padronizar) é dominada pela escala numérica das variáveis, não pela estrutura de correlação — o mesmo aviso se aplica aqui.
✔ Verdadeiro — Essa relação é uma consequência algébrica direta de \(\sigma_i(X)^2=\lambda_i(X^TX)\) (ver Convenções) — vale para qualquer matriz real de posto completo, não é uma propriedade específica do California Housing.
✗ Falso — Confunde dimensões: \(\mathbf{u}_1\in\mathbb{R}^{16\,640}\) (o codomínio de \(X\), um vetor por observação), enquanto o autovetor principal de \(X^TX\) é \(\mathbf{v}_1\in\mathbb{R}^4\) (o domínio de \(X\), um vetor por atributo) — os dois vivem em espaços de dimensões completamente diferentes, não podem ser “iguais” em nenhum sentido. A identidade \(\sigma_i(X)^2=\lambda_i(X^TX)\) relaciona apenas os valores (escalares), não os vetores.

Teste 9 — Filtragem colaborativa e interpretação de perfis latentes

□ Na matriz de notas de filmes descrita nas Convenções acima, se um quarto espectador desse nota \(5\) a todos os quatro filmes por igual, esse espectador contribuiria para um valor singular adicional além dos três já existentes, mesmo que sua nota não distinga nenhum tema.
□ No limite em que só se usa o primeiro perfil latente (\(k=1\)), a filtragem colaborativa deste exemplo passa a prever a mesma proporção relativa de notas de ficção científica para qualquer espectador.
□ Num sistema de recomendação de música (matriz usuário \(\times\) artista, notas de audição implícitas), a mesma lógica de perfis latentes via SVD/aproximação de baixo posto se aplicaria, trocando “filme”/“espectador” por “artista”/“ouvinte”.
□ Como a interpretação de \(\mathbf{u}_i\)/\(\mathbf{v}_i\) como “temas”/“perfis” depende da suposição de que as notas seguem exatamente uma combinação linear desses perfis, essa interpretação deveria ser tratada como uma leitura conveniente, não como um fato provado sobre os dados.

(Resposta) Teste 9 — Filtragem colaborativa e interpretação de perfis latentes

✔ Verdadeiro — Verificado numericamente: a matriz original (posto \(3\), ver Convenções) ganha uma quarta coluna \((5,5,5,5)^T\); essa coluna não está no espaço-coluna gerado pelas outras três (resíduo de mínimos quadrados \(\approx 0{,}577\), não-nulo), então o posto sobe para \(4\) e aparece um quarto valor singular não-nulo (\(\approx 0{,}362\), pequeno, mas não-zero). O fato de a nota ser “uniforme” (não distinguir gêneros) não implica ser uma combinação linear exata dos perfis já existentes — uniformidade e redundância linear são propriedades diferentes.
✔ Verdadeiro — Com \(k=1\), \(\hat{A}^{(1)}=\sigma_1\mathbf{u}_1\mathbf{v}_1^T\) — cada coluna (espectador) é um múltiplo escalar do mesmo vetor \(\mathbf{u}_1\) (o “filme estereotípico” de ficção científica). Isso significa que a proporção relativa entre as notas previstas para os diferentes filmes é idêntica para todo espectador (só a magnitude geral, dada por \(\mathbf{v}_1\), muda) — a razão entre as notas de “Guerra nas Estrelas” e “Blade Runner” em \(\hat{A}^{(1)}\) é a mesma para Ali, Beatrix e Chandra, mesmo Chandra não gostando de ficção científica.
✔ Verdadeiro — A matemática da aproximação de baixo posto não depende de a matriz representar filmes, músicas ou qualquer outro item — a mesma interpretação de “perfis estereotípicos” (à esquerda) e “gostos estereotípicos” (à direita) se aplica a qualquer matriz de avaliações usuário \(\times\) item.
✔ Verdadeiro — Este item, apesar de nascer de uma tentativa de “falsa dicotomia”, é na verdade um alerta epistemológico correto — vale a pena registrar como tal. A leitura de “temas”/“perfis” depende de suposições explícitas (“todos os espectadores avaliam filmes de forma consistente, usando o mesmo mapeamento linear”; “não há erro ou ruído nas notas”) — a SVD em si é só álgebra linear exata; a interpretação de “temas”/“perfis” é uma leitura semântica sobreposta aos números, condicionada a essas suposições serem razoáveis para os dados em questão, não uma consequência matemática automática da decomposição.