Soluções — Aula 4: Autovalores, Autovetores e Matrizes Simétricas

Gabarito de exercicios.qmd

Autor

Prof. Marcos Medeiros Raimundo

Aula Exercícios

Teste 1 — Autovalores e autovetores: a equação básica

□ Se \(\mathbf{x}\) é autovetor de \(A\) associado ao autovalor \(\lambda=0\), então \(\mathbf{x}\) pertence ao núcleo (espaço-nulo) de \(A\).
□ Uma matriz de rotação pura em \(\mathbb{R}^2\) por um ângulo de \(90°\) não tem nenhum autovetor real, porque nenhuma direção não-nula do plano é mapeada sobre si mesma (nem esticada, nem invertida) por essa rotação.
□ Num sistema dinâmico discreto \(\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k\), se \(\mathbf{x}_0\) for exatamente um autovetor de \(A\) com autovalor \(\lambda\), então toda a trajetória futura \(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots\) permanece sobre a mesma reta que \(\mathbf{x}_0\), só variando em magnitude por potências de \(\lambda\).
□ Como o autovetor associado a um autovalor não é único, a equação de autovalor \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\) admite, para qualquer \(A\) e qualquer \(\lambda\) real, pelo menos um autovetor não-nulo que a satisfaça.

(Resposta) Teste 1 — Autovalores e autovetores: a equação básica

✔ Verdadeiro — \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\) com \(\lambda=0\) dá \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) — exatamente a definição de núcleo/espaço-nulo de \(A\). O caso-limite \(\lambda=0\) conecta diretamente as duas linguagens: “autovetor de autovalor zero” e “vetor do núcleo” são a mesma coisa.
✔ Verdadeiro — Uma rotação de \(90°\) manda todo vetor não-nulo para uma direção perpendicular à original — nenhuma reta que passa pela origem fica invariante. Isso é consistente com o polinômio característico dessa rotação não ter raiz real (as raízes são complexas, \(\pm i\)): o caso extremo em que “não girar” falha para toda direção do espaço.
✔ Verdadeiro — Por indução, \(\mathbf{x}_k=A^k\mathbf{x}_0\); se \(A\mathbf{x}_0=\lambda\mathbf{x}_0\), então \(A^k\mathbf{x}_0=\lambda^k\mathbf{x}_0\) (aplicar \(A\) repetidamente só multiplica pelo mesmo escalar cada vez). A trajetória inteira fica sobre a reta gerada por \(\mathbf{x}_0\) — aplicação direta da definição de autovetor a um domínio (sistemas dinâmicos) diferente do fio condutor desta aula.
✗ Falso — A não-unicidade só vale depois de já existir um autovetor para aquele \(\lambda\) — qualquer múltiplo escalar dele também serve. Isso não implica que todo \(\lambda\) real seja autovalor de \(A\): só os \(\lambda\) que são raízes do polinômio característico \(p_A(\lambda)\) têm autovetor associado. O erro é confundir “quando existe um autovetor, existem infinitos” com “sempre existe um autovetor”.

Teste 2 — O polinômio característico

□ Se o polinômio característico de uma matriz \(A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\) tiver uma raiz dupla (discriminante zero em Bhaskara), isso garante automaticamente que \(A\) tem apenas um autovetor linearmente independente associado a essa raiz.
□ Multiplicar uma matriz \(A\) inteira por um escalar \(c\ne 0\) (obtendo \(cA\)) preserva exatamente os mesmos autovetores de \(A\), mas multiplica cada autovalor por \(c\).
□ Numa cadeia de Markov usada em aprendizado por reforço, descrita por uma matriz de transição de estados \(3\times 3\), encontrar os autovalores dessa matriz via seu polinômio característico (grau 3) é uma aplicação legítima da mesma técnica de raízes do polinômio característico vista acima para matrizes \(2\times 2\).
□ Como \(\det(A-\lambda I)=0\) é a condição para autovalor, isso implica que \(\det(A)=0\) é condição necessária para que \(A\) tenha algum autovalor real.

(Resposta) Teste 2 — O polinômio característico

✗ Falso — Contraexemplo direto: \(A=2I\) tem polinômio característico \((\lambda-2)^2\) (raiz dupla \(\lambda=2\)), mas todo vetor não-nulo de \(\mathbb{R}^2\) é autovetor — o autoespaço \(E_2\) tem dimensão \(2\), não \(1\). Raiz dupla (multiplicidade algébrica 2) não força multiplicidade geométrica 1; a relação entre as duas multiplicidades é só “geométrica \(\le\) algébrica”, nunca uma implicação automática de igualdade.
✔ Verdadeiro — Se \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\), então \((cA)\mathbf{x}=c(A\mathbf{x})=c(\lambda\mathbf{x})=(c\lambda)\mathbf{x}\) — o mesmo \(\mathbf{x}\) resolve a equação de autovalor de \(cA\), com autovalor \(c\lambda\). Alterar a matriz por um cenário contrafactual (escalá-la inteira) preserva a direção especial, só reescala o fator de esticamento.
✔ Verdadeiro — A equivalência entre autovalor e raiz do polinômio característico não depende da origem da matriz — vale para qualquer \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\), incluindo matrizes de transição de estados de uma cadeia de Markov ou qualquer outro modelo baseado em matrizes quadradas. A técnica generaliza diretamente para grau 3 (só fica algebricamente mais trabalhosa).
✗ Falso — \(\det(A)=0\) é a condição para que \(\lambda=0\) especificamente seja autovalor de \(A\) (basta substituir \(\lambda=0\) em \(\det(A-\lambda I)\)). Não é necessária para a existência de algum autovalor real — contraexemplo: \(A=2I\) tem autovalor real \(\lambda=2\) (múltiplas vezes), mas \(\det(A)=4\ne 0\). O erro é generalizar uma condição específica (\(\lambda=0\)) para todo o conjunto de autovalores.

Teste 3 — Não-unicidade e autoespaços

□ Se dois autovetores distintos, \(\mathbf{x}_1\) e \(\mathbf{x}_2\), de uma mesma matriz \(A\) (não necessariamente simétrica) estiverem associados ao mesmo autovalor \(\lambda\), então qualquer combinação linear não-nula \(c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2\) também é autovetor de \(A\) com esse mesmo autovalor \(\lambda\).
□ Se uma matriz \(A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\) tivesse dois autovalores distintos, mas um deles com autoespaço de dimensão \(2\), isso seria matematicamente possível para essa matriz.
□ Num problema de classificação de imagens em que cada “direção” do espaço de atributos representasse uma característica visual, um autoespaço de dimensão maior que \(1\) significaria, na prática, que existe mais de uma direção de atributos igualmente “especial” (mesmo fator de escala) para a transformação em questão.
□ Como o vetor nulo nunca é considerado autovetor por definição, isso implica que um autoespaço \(E_\lambda\) nunca contém o vetor \(\mathbf{0}\).

(Resposta) Teste 3 — Não-unicidade e autoespaços

✔ Verdadeiro — \(A(c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2)=c_1A\mathbf{x}_1+c_2A\mathbf{x}_2=c_1\lambda\mathbf{x}_1+c_2\lambda\mathbf{x}_2=\lambda(c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2)\) — o autoespaço \(E_\lambda\) é, por construção, um subespaço vetorial (fechado sob combinação linear), propriedade que vale para qualquer matriz, simétrica ou não; a simetria só entra quando se compara autoespaços de autovalores diferentes.
✗ Falso — Se um autoespaço já tem dimensão \(2\) dentro de \(\mathbb{R}^2\), ele ocupa o espaço inteiro — não sobra nenhuma direção independente para um segundo autovalor distinto ter autovetor próprio (autoespaços de autovalores distintos são sempre linearmente independentes entre si). O caso extremo (dimensão do autoespaço igual à dimensão do espaço todo) já esgota a matriz: ela só pode ser \(A=cI\), sem espaço para um segundo autovalor diferente de \(c\).
✔ Verdadeiro — É exatamente a leitura correta de “autoespaço de dimensão \(>1\)”: não uma única direção especial, mas um subespaço inteiro de direções que compartilham o mesmo autovalor (mesmo fator de escala) — aplicação direta e correta do conceito a um domínio (visão computacional) fora do fio condutor da aula.
✗ Falso — A definição usual exclui \(\mathbf{0}\) da lista de vetores que podem ser chamados de autovetor, mas o autoespaço \(E_\lambda=\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\}\) é, por construção, um subespaço vetorial — e todo subespaço contém \(\mathbf{0}\). \(\mathbf{0}\) pertence a \(E_\lambda\) mesmo sem ser chamado de “autovetor”; a confusão é entre o conjunto (subespaço, que inclui \(\mathbf{0}\)) e o rótulo aplicado a seus elementos não-nulos.

Teste 4 — Teorema Espectral Real

□ Se duas matrizes simétricas \(A\) e \(B\) compartilhassem exatamente a mesma base ortonormal de autovetores (mesmo \(Q\) na decomposição espectral, com \(\Lambda\) possivelmente diferentes), então \(A\) e \(B\) comutariam, ou seja, \(AB=BA\).
□ O Teorema Espectral Real garante que toda matriz simétrica \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) tem exatamente \(n\) autovalores distintos entre si.
□ Numa matriz Laplaciana de grafo usada em clustering espectral (sempre simétrica), o Teorema Espectral Real garante autovalores reais e autovetores ortogonais, ainda que esse contexto não tenha nenhuma relação direta com regressão ou projeção.
□ Se uma matriz \(A\) tivesse autovalores reais, mas seus autovetores associados a autovalores distintos não fossem ortogonais entre si, isso seria suficiente para concluir que \(A\) não é simétrica.

(Resposta) Teste 4 — Teorema Espectral Real

✔ Verdadeiro — Com \(A=Q\Lambda_AQ^T\) e \(B=Q\Lambda_BQ^T\) (mesmo \(Q\)), \(AB=Q\Lambda_AQ^TQ\Lambda_BQ^T=Q\Lambda_A\Lambda_BQ^T\) (usando \(Q^TQ=I\)); como \(\Lambda_A\) e \(\Lambda_B\) são diagonais, sempre comutam entre si (\(\Lambda_A\Lambda_B=\Lambda_B\Lambda_A\)), logo \(AB=Q\Lambda_B\Lambda_AQ^T=BA\). Compartilhar a base é a condição extra que falta no caso geral (duas matrizes simétricas quaisquer não comutam necessariamente).
✗ Falso — O Teorema Espectral garante \(n\) autovalores reais (contados com multiplicidade) e uma base ortonormal de autovetores — não distinção entre eles. Contraexemplo direto: \(A=3I\) é simétrica e tem um único valor de autovalor (\(3\)), repetido \(n\) vezes; o teorema continua valendo (base ortonormal existe, qualquer base ortonormal de \(\mathbb{R}^n\) serve), só que sem autovalores distintos.
✔ Verdadeiro — O Teorema Espectral Real é um resultado puramente algébrico sobre matrizes simétricas — não depende de a matriz vir de regressão, projeção, ou qualquer contexto específico. Qualquer matriz Laplaciana de grafo (sempre simétrica, base do clustering espectral) herda a mesma garantia.
✔ Verdadeiro — É a contrapositiva exata do resultado central desta aula: “\(A\) simétrica \(\Rightarrow\) autovetores de autovalores distintos ortogonais” equivale logicamente a “autovetores de autovalores distintos não ortogonais \(\Rightarrow\) \(A\) não simétrica”. Ter autovalores reais não basta — a prova usa a simetria especificamente para forçar a ortogonalidade; sem ela, nada garante o ângulo reto.

Teste 5 — Definitude positiva

□ Se uma matriz simétrica \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) tiver exatamente um autovalor igual a zero e todos os demais estritamente positivos, então \(A\) é semidefinida positiva, mas não definida positiva.
□ A soma de duas matrizes simétricas definidas positivas de mesma dimensão, \(A+B\), é sempre definida positiva.
□ Num problema de otimização de portfólio financeiro, se a matriz de covariância dos retornos dos ativos não fosse definida positiva (algum autovalor exatamente zero), isso indicaria a existência de uma combinação de ativos com variância nula — um portfólio livre de risco a partir de ativos individualmente arriscados.
□ Como a forma quadrática \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) de uma matriz definida positiva nunca é negativa, isso implica que \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=0\) é impossível para \(A\) definida positiva e \(\mathbf{x}\) não-nulo qualquer.

(Resposta) Teste 5 — Definitude positiva

✔ Verdadeiro — \(A\succeq 0\) exige \(\lambda_i\ge 0\) para todo \(i\) — satisfeito (zero conta). \(A\succ 0\) exige \(\lambda_i>0\) estrito para todo \(i\) — falha exatamente no autovalor zero. É o caso-limite entre as duas categorias, a fronteira exata entre “semidefinida” e “definida”.
✔ Verdadeiro — Para \(\mathbf{x}\ne\mathbf{0}\): \(\mathbf{x}^T(A+B)\mathbf{x}=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}+\mathbf{x}^TB\mathbf{x}\), soma de duas parcelas estritamente positivas, logo estritamente positiva — a soma de dois positivos é positiva. Aplicação direta da definição de matriz definida positiva a uma operação (soma de matrizes) não discutida explicitamente na aula.
✔ Verdadeiro — Se \(\Sigma\) (covariância) tem autovalor \(0\) com autovetor \(\mathbf{v}\), então \(\mathbf{v}^T\Sigma\mathbf{v}=0\) — a “variância” de um portfólio com pesos proporcionais a \(\mathbf{v}\) é exatamente zero, mesmo que cada ativo individual tenha variância positiva. Aplicação correta e não-trivial do conceito de definitude a um domínio financeiro.
✔ Verdadeiro — A definição de matriz definida positiva já exige \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0\) estritamente (não só \(\ge 0\)) — diferente de semidefinida, em que \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=0\) é permitido para algum \(\mathbf{x}\ne\mathbf{0}\). A armadilha do item é a premissa “nunca é negativa” soar como só \(\ge 0\) (o caso semidefinido); mas a hipótese explícita é “definida positiva”, que já garante positividade estrita, tornando \(=0\) de fato impossível para \(\mathbf{x}\ne\mathbf{0}\).

Teste 6 — Quociente de Rayleigh e número de condição

□ Se \(\mathbf{x}\) for exatamente um autovetor de \(A\) associado ao autovalor \(\lambda_{\max}(A)\), então o quociente de Rayleigh \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}/\mathbf{x}^T\mathbf{x}\) avaliado nesse \(\mathbf{x}\) é exatamente igual a \(\lambda_{\max}(A)\).
□ Se todos os autovalores de uma matriz simétrica definida positiva \(A\) dobrarem de valor (cada \(\lambda_i\to 2\lambda_i\)), o número de condição de \(A\) também dobra.
□ Num sistema de equações normais mal-condicionado por causa de dois atributos redundantes de um dataset (quase perfeitamente correlacionados), remover um dos dois atributos do modelo tende a aumentar o menor autovalor relativo de \(X^TX\) e, com isso, reduzir o número de condição.
□ Como o número de condição de uma matriz simétrica definida positiva é sempre maior ou igual a \(1\), isso implica que qualquer matriz com número de condição exatamente igual a \(1\) tem que ser, necessariamente, a matriz identidade.

(Resposta) Teste 6 — Quociente de Rayleigh e número de condição

✔ Verdadeiro — \(A\mathbf{x}=\lambda_{\max}\mathbf{x}\) \(\Rightarrow\) \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\lambda_{\max}\mathbf{x}^T\mathbf{x}\) \(\Rightarrow\) o quociente vale exatamente \(\lambda_{\max}\) — o caso-limite em que o supremo do quociente de Rayleigh é de fato atingido, não só aproximado.
✗ Falso — \(\text{cond}(A)=\lambda_{\max}(A)/\lambda_{\min}(A)\); dobrando todos os autovalores, o novo número de condição é \(\frac{2\lambda_{\max}}{2\lambda_{\min}}=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}\) — exatamente o mesmo de antes, porque o fator \(2\) cancela na razão. O número de condição depende só da razão entre extremos, não da escala absoluta dos autovalores.
✔ Verdadeiro — A direção quase-degenerada (menor autovalor) vem exatamente de duas colunas quase-redundantes competindo pela mesma informação (o mesmo mecanismo de um par de atributos fortemente correlacionados); removendo uma delas, a matriz de design perde a coluna que causava a quase-dependência, e o menor autovalor da nova \(X^TX\) (menor, dimensão reduzida) tende a não ser mais espremido perto de zero — melhorando o condicionamento.
✗ Falso — \(\text{cond}(A)=1\) significa \(\lambda_{\max}(A)=\lambda_{\min}(A)\), ou seja, todos os autovalores iguais entre si — isso força \(A=cI\) para algum escalar \(c>0\), não necessariamente \(c=1\). Contraexemplo: \(A=5I\) tem \(\text{cond}(A)=5/5=1\), mas \(A\ne I\).

Teste 7 — \(X^TX\): simetria e as duas faces desta aula

□ Se duas colunas de uma matriz de design \(X\) fossem exatamente ortogonais entre si (produto interno zero) e tivessem a mesma norma, a submatriz \(2\times 2\) correspondente de \(X^TX\) restrita a essas duas colunas seria um múltiplo escalar da identidade, com número de condição igual a \(1\).
□ Para qualquer matriz retangular \(X\in\mathbb{R}^{N\times d}\) com \(N\ne d\), a própria matriz \(X\) (não \(X^TX\)) sempre tem \(\min(N,d)\) autovalores reais, pela mesma lógica do polinômio característico aplicada a \(X^TX\).
□ Numa matriz de covariância genética (relacionando a expressão de vários genes numa amostra de pacientes), o mesmo raciocínio de autovalor pequeno \(\Rightarrow\) direção quase redundante entre variáveis se aplicaria, ainda que o domínio seja biológico, não imobiliário.
□ Como \(X^TX\) é sempre simétrica semidefinida positiva (independentemente do posto de \(X\)), isso implica que \(X^TX\) é sempre invertível, qualquer que seja \(X\).

(Resposta) Teste 7 — \(X^TX\): simetria e as duas faces desta aula

✔ Verdadeiro — Com colunas \(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\) ortogonais (\(\mathbf{x}_1^T\mathbf{x}_2=0\)) e mesma norma \(r\) (\(\mathbf{x}_1^T\mathbf{x}_1=\mathbf{x}_2^T\mathbf{x}_2=r^2\)), a submatriz \(2\times 2\) de \(X^TX\) é \(\begin{bmatrix}r^2&0\\0&r^2\end{bmatrix}=r^2I\) — múltiplo escalar da identidade, com os dois autovalores iguais a \(r^2\), logo \(\text{cond}=1\). O caso-limite ideal de condicionamento.
✗ Falso — Autovalores só são definidos para matrizes quadradas — o polinômio característico \(\det(X-\lambda I)\) nem faz sentido dimensionalmente para \(X\) retangular (\(N\ne d\)). O que \(X\) retangular tem são \(\min(N,d)\) valores singulares (via decomposição SVD, tema de aula futura) — uma noção relacionada, mas distinta de autovalor. Autovalores exigem matriz quadrada (e idealmente simétrica, para as garantias desta aula); \(X\) retangular precisa de outra ferramenta.
✔ Verdadeiro — O raciocínio de que um autovalor pequeno de uma matriz de covariância indica uma direção quase degenerada (variáveis quase redundantes) é uma consequência puramente algébrica do Teorema Espectral e do quociente de Rayleigh — não depende de os dados serem imobiliários, genéticos, ou de qualquer outro domínio.
✗ Falso — Semidefinida positiva (\(\lambda_i\ge 0\)) não implica invertível — invertibilidade exige definida positiva (\(\lambda_i>0\) estrito para todo \(i\)), que só vale quando \(X\) tem posto completo. Contraexemplo: fabricando uma coluna redundante exata (ex.: \(2\times\) uma coluna já existente) deixa \(X^TX\) singular (\(\det=0\)), mesmo continuando semidefinida positiva.

Teste 8 — Covariância empírica e a semente de PCA

□ Se a matriz de covariância empírica de dois atributos tiver um dos autovalores muito próximo de zero, isso indica que os dados, nesse par de atributos, estão quase inteiramente concentrados ao longo de uma única direção no plano.
□ Padronizar cada atributo (subtrair a média, dividir pelo desvio-padrão) antes de calcular a covariância nunca muda a direção do autovetor principal, só a magnitude do autovalor associado.
□ Num dataset com atributos em escalas muito diferentes entre si (ex.: idade em anos e renda anual em milhares de reais, como no dataset German Credit), calcular a covariância bruta (sem padronizar) tende a produzir um autovetor principal dominado pelo atributo de maior variância numérica, não necessariamente o mais relevante para o problema.
□ Como a matriz de covariância é sempre semidefinida positiva, isso implica que a soma das variâncias de todos os atributos (o traço da matriz) é sempre igual à soma dos quadrados das covariâncias fora da diagonal.

(Resposta) Teste 8 — Covariância empírica e a semente de PCA

✔ Verdadeiro — Um autovalor da covariância mede a variância dos dados projetados na direção do autovetor correspondente; se um autovalor é quase zero, a variância nessa direção é quase nula — os pontos quase não se espalham ali, ficando concentrados ao longo da direção do outro autovetor (o de autovalor grande). O caso-limite exato é uma reta perfeita (autovalor menor exatamente zero).
✗ Falso — É exatamente o oposto: dividir cada coluna pelo próprio desvio-padrão muda a escala relativa entre as colunas, e a direção de maior variância (o autovetor principal) depende dessa escala relativa. Quando um atributo tem variância numérica bruta muito maior que os demais, a covariância bruta tende a ter autovetor principal dominado por esse atributo; padronizando, essa dominância deixa de existir e a direção principal passa a refletir a estrutura de correlação real entre os atributos, não a escala de cada um — a direção pode, sim, mudar.
✔ Verdadeiro — Mesmo mecanismo do item (b) deste bloco, transposto para outro dataset com atributos em escalas heterogêneas: a escala numérica bruta (não a relevância para o problema) decide qual atributo domina a direção principal, quando a covariância não é calculada sobre dados padronizados.
✗ Falso — Não existe identidade geral desse tipo. O traço de uma matriz de covariância é a soma das variâncias (que, pelo Teorema Espectral, também é igual à soma dos autovalores) — uma quantidade sem relação algébrica direta e geral com a soma dos quadrados das entradas fora da diagonal. Semidefinida positiva garante autovalores não-negativos, não nenhuma identidade entre traço e covariâncias cruzadas; a afirmação combina dois fatos verdadeiros isolados (matriz PSD, traço existe) numa conclusão que não decorre deles.