1. Prove que \(x^n + y^n\) é divisível por \(x + y\) para todos os inteiros positivos \(x\) e \(y\) e todos os inteiros ímpares positivos \(n\).

    2. Solução:

    Para \(n = 1\), temos que \(x^1 + y^1\) é divisível por \(x + y\) pois são iguais.

    Para \(n \geq 3\) ímpar, faremos indução supondo que vale para \(n - 2\). Temos então:

    $$\begin{eqnarray*} x^n+y^n &=& x^2(x^{n-2} + y^{n-2}) + y^n - x^2y^{n-2}\\ &=& x^2(x^{n-2}+y^{n-2}) + y^{n-2}(y^2 - x^2). \end{eqnarray*}$$

    Podemos escrever \(y^2 - x^2 = (y+x)(y-x)\), o que mostra que o segundo termo é divisível por \(x + y\). E o primeiro termo é divisível por \(x + y\) por hipótese de indução. Logo, a soma é divisível por \(x + y\), que é o que desejávamos.